4.2 — Difference-in-Difference Models

# 4.2 — Difference-in-Difference Models
## ECON 480 • Econometrics • Fall 2021
### Ryan Safner<br> Assistant Professor of Economics <br> <a href="mailto:safner@hood.edu"><i class="fa fa-paper-plane fa-fw"></i>safner@hood.edu</a> <br> <a href="https://github.com/ryansafner/metricsF21"><i class="fa fa-github fa-fw"></i>ryansafner/metricsF21</a><br> <a href="https://metricsF21.classes.ryansafner.com"> <i class="fa fa-globe fa-fw"></i>metricsF21.classes.ryansafner.com</a><br>

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# Outline

### [Difference-in-Difference Models](#3)
### [Example I: HOPE in Georgia](#32)
### [Generalizing DND Models](#74)
### [Example II: "The" Card-Kreuger Minimum Wage Study](#88)

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# Clever Research Designs Identify Causality

Again, **this toolkit** of research designs to **identify causal effects** is the economist’s **comparative advantage** that firms and governments want!

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# Difference-in-Difference Models

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# Natural Experiments

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# Difference-in-Difference Models I

.smallest[
- Often, we want to examine the consequences of a change, such as a law or policy intervention
]
]

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# Difference-in-Difference Models I

.smallest[
- Often, we want to examine the consequences of a change, such as a law or policy intervention

- .green[**Example**]: how do States that implement policy `$X$` see changes in `$Y$`
  - **Treatment**: States that implement `$X$`
  - **Control**: States that did not implement `$X$`
]

]

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# Difference-in-Difference Models I

.smallest[
- Often, we want to examine the consequences of a change, such as a law or policy intervention

- .green[**Example**]: how do States that implement policy `$X$` see changes in `$Y$`
  - **Treatment**: States that implement `$X$`
  - **Control**: States that did not implement `$X$`

- If we have **panel data** with observations for all states **before** and **after** the change...
    
- Find the *difference* between treatment & control groups *in* their *differences* before and after the treatment period
]
]

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# Difference-in-Difference Models I

.smallest[
- Often, we want to examine the consequences of a change, such as a law or policy intervention

- .green[**Example**]: how do States that implement policy `$X$` see changes in `$Y$`
  - **Treatment**: States that implement `$X$`
  - **Control**: States that did not implement `$X$`

- If we have **panel data** with observations for all states **before** *and* **after** the change...
    
- Find the *difference* between treatment & control groups *in* their *differences* before and after the treatment period
]
]

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# Difference-in-Difference Models II

.smallest[
- The .hi[difference-in-difference model] (aka .hi[“diff-in-diff”] or .hi[“DND”]) identifies treatment effect by differencing the difference pre- and post-treatment values of `$Y$` between treatment and control groups
]

.smallest[
`$$\hat{Y_{it}}=\beta_0+\beta_1 \text{Treated}_i +\beta_2 \text{After}_{t}+\beta_3 (\text{Treated}_i \times \text{After}_{t})+u_{it}$$`
]

.quitesmall[
- `$Treated_i= \begin{cases}1 \text{ if } i \text{ is in treatment group}\\ 0 \text{ if } i \text{ is not in treatment group}\end{cases} \quad After_t= \begin{cases}1 \text{ if } t \text{ is after treatment period}\\ 0 \text{ if } t \text{ is before treatment period}\end{cases}$`

]

.smallest[
|    | Control | Treatment | **Group Diff** `$(\Delta Y_i)$` |
|----|---------|-----------|---------------------------|
| Before | `$\beta_0$` | `$\beta_0+\beta_1$` | `$\beta_1$` |
| After | `$\beta_0+\beta_2$` | `$\beta_0+\beta_1+\beta_2+\beta_3$` | `$\beta_1+\beta_3$` |
| **Time Diff** `$(\Delta Y_t)$` | `$\beta_2$` | `$\beta_2+\beta_3$` | **Diff-in-diff** `$\Delta_i \Delta_t: \beta_3$` |
]

---

# Silly Example: Hot Dogs

<div data-pagedtable="false">
  <script data-pagedtable-source type="application/json">
{"columns":[{"label":["price"],"name":[1],"type":["dbl"],"align":["right"]},{"label":["cheese"],"name":[2],"type":["dbl"],"align":["right"]},{"label":["chili"],"name":[3],"type":["dbl"],"align":["right"]}],"data":[{"1":"2.00","2":"0","3":"0"},{"1":"2.35","2":"1","3":"0"},{"1":"2.35","2":"0","3":"1"},{"1":"2.70","2":"1","3":"1"}],"options":{"columns":{"min":{},"max":[10]},"rows":{"min":[10],"max":[10]},"pages":{}}}
  </script>
</div>

]
]

```r
lm(price ~ cheese + chili + cheese*chili,
   data = hotdogs) %>%
  tidy()
```

]
]

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# Silly Example: Hot Dogs

|    | No Cheese | Cheese | **Cheese Diff**|
|----|---------|-----------|---------------------------|
| No Chili | $2.00 | $2.35 | $0.35 |
| Chili | $2.35 | $2.70 | $0.35 |
| **Chili Diff** | $0.35 | $0.35 |  $0.00 (**Diff-in-diff**) |
]
]

```r
lm(price ~ cheese + chili + cheese*chili,
   data = hotdogs) %>%
  tidy()
```

]
]

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# Visualizing Diff-in-Diff

.smallest[
`$$\hat{Y_{it}}=\beta_0+\beta_1 \text{Treated}_i +\beta_2 \text{After}_{t}+\beta_3 (\text{Treated}_i \times \text{After}_{t})+u_{it}$$`
]

<img src="4.2-slides_files/figure-html/unnamed-chunk-10-1.png" width="504" />
]

- .red[`\$\hat{\beta_0}\$`]: value of `$Y$` for **control** group **before** treatment

- .red[`\$\hat{\beta_2}\$`]: time *difference* (for **control** group)
]

]

---

# Visualizing Diff-in-Diff

.smallest[
`$$\hat{Y_{it}}=\beta_0+\beta_1 \text{Treated}_i +\beta_2 \text{After}_{t}+\beta_3 (\text{Treated}_i \times \text{After}_{t})+u_{it}$$`
]

<img src="4.2-slides_files/figure-html/unnamed-chunk-11-1.png" width="504" />
]

- .red[`\$\hat{\beta_0}\$`]: value of `$Y$` for **control** group **before** treatment

- .red[`\$\hat{\beta_2}\$`]: time *difference* (for **control** group)

- .green[Treatment group `\$(\text{Treated}_i = 1)\$`]

]
]
---

# Visualizing Diff-in-Diff

.smallest[
`$$\hat{Y_{it}}=\beta_0+\beta_1 \text{Treated}_i +\beta_2 \text{After}_{t}+\beta_3 (\text{Treated}_i \times \text{After}_{t})+u_{it}$$`
]

<img src="4.2-slides_files/figure-html/unnamed-chunk-12-1.png" width="504" />
]

- .red[`\$\hat{\beta_0}\$`]: value of `$Y$` for **control** group **before** treatment

- .red[`\$\hat{\beta_2}\$`]: time *difference* (for **control** group)

- .green[Treatment group `\$(\text{Treated}_i = 1)\$`]

- .green[`\$\hat{\beta_1}\$`]: *difference* between groups **before** treatment

]
]

---

# Visualizing Diff-in-Diff

.smallest[
`$$\hat{Y_{it}}=\beta_0+\beta_1 \text{Treated}_i +\beta_2 \text{After}_{t}+\beta_3 (\text{Treated}_i \times \text{After}_{t})+u_{it}$$`
]

<img src="4.2-slides_files/figure-html/unnamed-chunk-13-1.png" width="504" />
]

- .red[`\$\hat{\beta_0}\$`]: value of `$Y$` for **control** group **before** treatment

- .red[`\$\hat{\beta_2}\$`]: time *difference* (for **control** group)

- .green[Treatment group `\$(\text{Treated}_i = 1)\$`]

- .green[`\$\hat{\beta_1}\$`]: *difference* between groups **before** treatment

- .blue[`\$\hat{\beta_3}\$`]: .hi-blue[difference-in-difference (treatment effect)]
]
]
---

# Visualizing Diff-in-Diff II

.smallest[
`$$\hat{Y_{it}}=\beta_0+\beta_1 \text{Treated}_i +\beta_2 \text{After}_{t}+\beta_3 (\text{Treated}_i \times \text{After}_{t})+u_{it}$$`
]

<img src="4.2-slides_files/figure-html/unnamed-chunk-14-1.png" width="504" />
]

]

---

# Visualizing Diff-in-Diff II

.smallest[
`$$\hat{Y_{it}}=\beta_0+\beta_1 \text{Treated}_i +\beta_2 \text{After}_{t}+\beta_3 (\text{Treated}_i \times \text{After}_{t})+u_{it}$$`
]

<img src="4.2-slides_files/figure-html/unnamed-chunk-15-1.png" width="504" />
]

- `$\bar{Y_i}$` for **Control** group **after**: `$\hat{\beta_0}+\hat{\beta_2}$`
]
]

---

# Visualizing Diff-in-Diff II

.smallest[
`$$\hat{Y_{it}}=\beta_0+\beta_1 \text{Treated}_i +\beta_2 \text{After}_{t}+\beta_3 (\text{Treated}_i \times \text{After}_{t})+u_{it}$$`
]

<img src="4.2-slides_files/figure-html/unnamed-chunk-16-1.png" width="504" />
]

- `$\bar{Y_i}$` for **Control** group **after**: `$\hat{\beta_0}+\hat{\beta_2}$`

- `$\bar{Y_i}$` for **Treatment** group **before**: `$\hat{\beta_0}+\hat{\beta_1}$`
]
]

---

# Visualizing Diff-in-Diff II

.smallest[
`$$\hat{Y_{it}}=\beta_0+\beta_1 \text{Treated}_i +\beta_2 \text{After}_{t}+\beta_3 (\text{Treated}_i \times \text{After}_{t})+u_{it}$$`
]

<img src="4.2-slides_files/figure-html/unnamed-chunk-17-1.png" width="504" />
]

- `$\bar{Y_i}$` for **Control** group **after**: `$\hat{\beta_0}+\hat{\beta_2}$`

- `$\bar{Y_i}$` for **Treatment** group **before**: `$\hat{\beta_0}+\hat{\beta_1}$`

- `$\bar{Y_i}$` for **Treatment** group **after**: `$\hat{\beta_0}+\hat{\beta_1}+\hat{\beta_2}+\hat{\beta_3}$`

]
]

---

# Visualizing Diff-in-Diff II

.smallest[
`$$\hat{Y_{it}}=\beta_0+\beta_1 \text{Treated}_i +\beta_2 \text{After}_{t}+\beta_3 (\text{Treated}_i \times \text{After}_{t})+u_{it}$$`
]

<img src="4.2-slides_files/figure-html/unnamed-chunk-18-1.png" width="504" />
]

- `$\bar{Y_i}$` for **Control** group **before**: `$\hat{\beta_0}$`

- `$\bar{Y_i}$` for **Control** group **after**: `$\hat{\beta_0}+\hat{\beta_2}$`

- `$\bar{Y_i}$` for **Treatment** group **before**: `$\hat{\beta_0}+\hat{\beta_1}$`

- `$\bar{Y_i}$` for **Treatment** group **after**: `$\hat{\beta_0}+\hat{\beta_1}+\hat{\beta_2}+\hat{\beta_3}$`

- **Group Difference (before)**: `$\hat{\beta_1}$`
]
]

---

# Visualizing Diff-in-Diff II

.smallest[
`$$\hat{Y_{it}}=\beta_0+\beta_1 \text{Treated}_i +\beta_2 \text{After}_{t}+\beta_3 (\text{Treated}_i \times \text{After}_{t})+u_{it}$$`
]

<img src="4.2-slides_files/figure-html/unnamed-chunk-19-1.png" width="504" />
]

- `$\bar{Y_i}$` for **Control** group **after**: `$\hat{\beta_0}+\hat{\beta_2}$`

- `$\bar{Y_i}$` for **Treatment** group **before**: `$\hat{\beta_0}+\hat{\beta_1}$`

- `$\bar{Y_i}$` for **Treatment** group **after**: `$\hat{\beta_0}+\hat{\beta_1}+\hat{\beta_2}+\hat{\beta_3}$`

- **Group Difference (before)**: `$\hat{\beta_1}$`

- **Time Difference**: `$\hat{\beta_2}$`

]
]

---

# Visualizing Diff-in-Diff II

.smallest[
`$$\hat{Y_{it}}=\beta_0+\beta_1 \text{Treated}_i +\beta_2 \text{After}_{t}+\beta_3 (\text{Treated}_i \times \text{After}_{t})+u_{it}$$`
]

<img src="4.2-slides_files/figure-html/unnamed-chunk-20-1.png" width="504" />
]

- `$\bar{Y_i}$` for **Control** group **after**: `$\hat{\beta_0}+\hat{\beta_2}$`

- `$\bar{Y_i}$` for **Treatment** group **before**: `$\hat{\beta_0}+\hat{\beta_1}$`

- `$\bar{Y_i}$` for **Treatment** group **after**: `$\hat{\beta_0}+\hat{\beta_1}+\hat{\beta_2}+\hat{\beta_3}$`

- **Group Difference (before)**: `$\hat{\beta_1}$`

- **Time Difference**: `$\hat{\beta_2}$`

- .blue[**Difference-in-difference**: `\$\hat{\beta_3}\$` (treatment effect)]
]
]

---

# Comparing Group Means (Again)

.smallest[
`$$\hat{Y_{it}}=\beta_0+\beta_1 \text{Treated}_i +\beta_2 \text{After}_{t}+\beta_3 (\text{Treated}_i \times \text{After}_{t})+u_{it}$$`
]

|    | Control | Treatment | **Group Diff** `$(\Delta Y_i)$` |
|----|---------|-----------|---------------------------|
| Before | `$\beta_0$` | `$\beta_0+\beta_1$` | `$\beta_1$` |
| After | `$\beta_0+\beta_2$` | `$\beta_0+\beta_1+\beta_2+\beta_3$` | `$\beta_1+\beta_3$` |
| **Time Diff** `$(\Delta Y_t)$` | `$\beta_2$` | `$\beta_2+\beta_3$` | **Diff-in-diff** `$\Delta_i \Delta_t: \beta_3$` |

---

# Key Assumption: Counterfactual

`$$\hat{Y_{it}}=\beta_0+\beta_1 \text{Treated}_i +\beta_2 \text{After}_{t}+\beta_3 (\text{Treated}_i \times \text{After}_{t})+u_{it}$$`

<img src="4.2-slides_files/figure-html/unnamed-chunk-21-1.png" width="504" />
]

.pull-right[
.smaller[
- Key assumption for DND: **time trends** (for treatment and control) are **parallel**

- Treatment and control groups assumed to be identical over time on average, **except for treatment**

- .hi[Counterfactual]: if the treatment group had not recieved treatment, it would have changed identically over time as the control group `$(\hat{\beta_2})$`
]
]

---

# Key Assumption: Counterfactual

`$$\hat{Y_{it}}=\beta_0+\beta_1 \text{Treated}_i +\beta_2 \text{After}_{t}+\beta_3 (\text{Treated}_i \times \text{After}_{t})+u_{it}$$`

<img src="4.2-slides_files/figure-html/unnamed-chunk-22-1.png" width="504" />
]

- If the time-trends would have been *different*, a **biased** measure of the treatment effect `$(\hat{\beta_3})$`!

]

---

# Example I: HOPE in Georgia

---

# Diff-in-Diff Example I

.content-box-green[
.smallest[
.green[**Example**]: In 1993 Georgia initiated a HOPE scholarship program to let state residents with at least a B average in high school attend public college in Georgia for free. Did it increase college enrollment?
]
]

.smallest[
- `$\text{InCollege}_{it}=\begin{cases}1 \text{ if } i \text{ is in college during year }t\\ 0 \text{ if } i \text{ is not in college during year }t\\ \end{cases}$`
]

.smallest[
- `$\text{Georgia}_i=\begin{cases}1 \text{ if } i \text{ is a Georgia resident}\\ 0 \text{ if } i \text{ is not a Georgia resident}\\ \end{cases}$`
]

.smallest[
- `$\text{After}_t=\begin{cases}1 \text{ if } t \text{ is after 1992}\\ 0 \text{ if } t \text{ is after 1992}\\ \end{cases}$`
]

.source[Dynarski, Susan, 1999, “Hope for Whom? Financial Aid for the Middle Class and its Impact on College Attendance,” *National Tax Journal* 53(3): 629-661]

.tiny[Note: With a dummy *dependent* (Y) variable, coefficients estimate the probability `\$Y=1\$`, i.e. the *probability* a person is enrolled in college]

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# Diff-in-Diff Example II

- We can use a DND model to measure the effect of HOPE scholarship on enrollments

- Georgia and nearby States, if not for HOPE, changes should be the same over time

- Treatment period: after 1992

- Treatment: Georgia

- Differences-in-differences: `$$\Delta_i \Delta_t Enrolled = (\text{GA}_{after}-\text{GA}_{before})-(\text{neighbors}_{after}-\text{neighbors}_{before})$$`

- Regression equation:
`$$\widehat{\text{Enrolled}_{it}} = \beta_0+\beta_1 \, \text{Georgia}_{i}+\beta_2 \,  \text{After}_{t}+\beta_3 \, (\text{Georgia}_{i} \times \text{After}_{t})$$`

---

# Example: Data

.smallest[
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  </script>
</div>
]

---

# Example: Data

]

.source[Dynarski, Susan, 1999, “Hope for Whom? Financial Aid for the Middle Class and its Impact on College Attendance,” *National Tax Journal* 53(3): 629-661]

---

# Example: Regression

```r
DND_reg <- lm(InCollege ~ Georgia + After + Georgia*After, data = hope)
DND_reg %>% tidy()
```

--
.smallest[
`$$\widehat{\text{Enrolled}_{it}}=0.406-0.105 \, \text{Georgia}_{i}-0.004 \, \text{After}_{t}+0.089 \, (\text{Georgia}_{i} \times \text{After}_{t})$$`
]

---

# Example: Interpretting the Regression

`$$\widehat{\text{Enrolled}_{it}}=0.406-0.105 \, \text{Georgia}_{i}-0.004 \, \text{After}_{t}+0.089 \, (\text{Georgia}_{i} \times \text{After}_{t})$$`

- `$\beta_0$`: 
--
A **non-Georgian** **before** 1992 was 40.6% likely to be a college student

- `$\beta_1$`: 
--
**Georgians** **before** 1992 were 10.5% less likely to be college students than neighboring states

- `$\beta_2$`: 
--
**After** 1992, **non-Georgians** are 0.4% less likely to be college students

- `$\beta_3$`: 
--
**After** 1992, **Georgians** are 8.9% more likely to enroll in colleges than neighboring states

- .hi-purple[Treatment effect: HOPE increased enrollment likelihood by 8.9%]

---

# Example: Comparing Group Means

`$$\widehat{\text{Enrolled}_{it}}=0.406-0.105 \, \text{Georgia}_{i}-0.004 \, \text{After}_{t}+0.089 \, (\text{Georgia}_{i} \times \text{After}_{t})$$`

- A group mean for a dummy `$Y$` is `$E[Y=1]$`, i.e. the probability a student is enrolled:

- **Non-Georgian enrollment probability pre-1992**: 
--
`$\beta_0=0.406$`

--
- **Georgian enrollment probability pre-1992**: 
--
`$\beta_0+\beta_1=0.406-0.105=0.301$`

- **Non-Georgian enrollment probability post-1992**: 
--
`$\beta_0+\beta_2=0.406-0.004=0.402$`

- **Georgian enrollment probability post-1992**: 
--
`$\beta_0+\beta_1+\beta_2+\beta_3=0.406-0.105-0.004+0.089=0.386$`

---

# Example: Comparing Group Means in R

```r
# group mean for non-Georgian before 1992
hope %>%
  filter(Georgia == 0,
         After == 0) %>%
  summarize(prob = mean(InCollege))
```

<div data-pagedtable="false">
  <script data-pagedtable-source type="application/json">
{"columns":[{"label":["prob"],"name":[1],"type":["dbl"],"align":["right"]}],"data":[{"1":"0.4057827"}],"options":{"columns":{"min":{},"max":[10]},"rows":{"min":[10],"max":[10]},"pages":{}}}
  </script>
</div>
]

```r
# group mean for non-Georgian AFTER 1992
hope %>%
  filter(Georgia == 0,
         After == 1) %>%
  summarize(prob = mean(InCollege))
```

<div data-pagedtable="false">
  <script data-pagedtable-source type="application/json">
{"columns":[{"label":["prob"],"name":[1],"type":["dbl"],"align":["right"]}],"data":[{"1":"0.401323"}],"options":{"columns":{"min":{},"max":[10]},"rows":{"min":[10],"max":[10]},"pages":{}}}
  </script>
</div>
]

---

# Example: Comparing Group Means in R II

```r
# group mean for Georgian before 1992
hope %>%
  filter(Georgia == 1,
         After == 0) %>%
  summarize(prob = mean(InCollege))
```

<div data-pagedtable="false">
  <script data-pagedtable-source type="application/json">
{"columns":[{"label":["prob"],"name":[1],"type":["dbl"],"align":["right"]}],"data":[{"1":"0.3005464"}],"options":{"columns":{"min":{},"max":[10]},"rows":{"min":[10],"max":[10]},"pages":{}}}
  </script>
</div>
]

```r
# group mean for Georgian AFTER 1992
hope %>%
  filter(Georgia == 1,
         After == 1) %>%
  summarize(prob = mean(InCollege))
```

<div data-pagedtable="false">
  <script data-pagedtable-source type="application/json">
{"columns":[{"label":["prob"],"name":[1],"type":["dbl"],"align":["right"]}],"data":[{"1":"0.3854167"}],"options":{"columns":{"min":{},"max":[10]},"rows":{"min":[10],"max":[10]},"pages":{}}}
  </script>
</div>
]

---

# Example: Diff-in-Diff Summary

`$$\widehat{\text{Enrolled}_{it}}=0.406-0.105 \, \text{Georgia}_{i}-0.004 \, \text{After}_{t}+0.089 \, (\text{Georgia}_{i} \times \text{After}_{t})$$`

|    | Neighbors | Georgia | **Group Diff** `$(\Delta Y_i)$` |
|----|--------:|----------:|--------------------------:|
| Before | `$0.406$` | `$0.301$` | `$-0.105$` |
| After | `$0.402$` | `$0.386$` | `$0.016$` |
| **Time Diff** `$(\Delta Y_t)$` | `$-0.004$` | `$0.085$` | **Diff-in-diff**: `$0.089$` |

`$$\begin{align*}
	\Delta_i \Delta_t Enrolled &= (\text{GA}_{after}-\text{GA}_{before})-(\text{neighbors}_{after}-\text{neighbors}_{before})\\
	&=(0.386-0.301)-(0.402-0.406)\\
	&=(0.085)-(-0.004)\\
	&=0.089\\ \end{align*}$$`

---

# Diff-in-Diff Summary & Data

.source[Dynarski, Susan, 1999, “Hope for Whom? Financial Aid for the Middle Class and its Impact on College Attendance,” *National Tax Journal* 53(3): 629-661]

---

# Example: Diff-in-Diff Graph

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# Example: Diff-in-Diff Graph (& Counterfactual)

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# Generalizing DND Models

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# Generalizing DND Models

- DND can be **generalized** with a **two-way fixed effects** model:  	
`$$\widehat{Y_{it}}=\beta_1 (\text{Treated}_i \times \text{After}_{t})+\alpha_i+\theta_t++\nu_{it}$$`
    - `$\alpha_i$`: **group fixed effects** (treatments/control groups)
    - `$\theta_t$`: **time fixed effects** (pre/post treatment)
    - `$\beta_1$`: diff-in-diff (interaction effect, `$\beta_3$` from before)

- Flexibility: *many* periods (not just before/after), *many* different treatment(s)/groups, and treatment(s) can occur at different times to different units (so long as some do not get treated)

- Can also add control variables that vary within units and over time 
`$$\widehat{Y_{it}}=\beta_1 \, (\text{Treated}_i \times \text{After}_{t})+\beta_2 X_{it}+\cdots + \alpha_i+\theta_t+\nu_{it}$$`

---

# Our Example, Generalized I

`$$\widehat{\text{Enrolled}_{it}} = \beta_1 \, (\text{Georgia}_{i} \times \text{After}_{t}) + \alpha_i+\theta_t+$$`

- `StateCode` is a variable for the State `$\implies$` create State fixed effect

- `Year` is a variable for the year `$\implies$` create year fixed effect

---

# Our Example, Generalized II

```r
DND_fe <- lm(InCollege ~ Georgia*After + factor(StateCode) + factor(Year),
           data = hope)
DND_fe %>% tidy()
```

<div data-pagedtable="false">
  <script data-pagedtable-source type="application/json">
{"columns":[{"label":["term"],"name":[1],"type":["chr"],"align":["left"]},{"label":["estimate"],"name":[2],"type":["dbl"],"align":["right"]},{"label":["std.error"],"name":[3],"type":["dbl"],"align":["right"]},{"label":["statistic"],"name":[4],"type":["dbl"],"align":["right"]},{"label":["p.value"],"name":[5],"type":["dbl"],"align":["right"]}],"data":[{"1":"(Intercept)","2":"0.418057478","3":"0.02261133","4":"18.4888517","5":"1.734550e-73"},{"1":"Georgia","2":"-0.141501255","3":"0.03936119","4":"-3.5949436","5":"3.281224e-04"},{"1":"After","2":"0.075340594","3":"0.03128021","4":"2.4085706","5":"1.605717e-02"},{"1":"factor(StateCode)57","2":"-0.014181112","3":"0.02739708","4":"-0.5176140","5":"6.047544e-01"},{"1":"factor(StateCode)58","2":"NA","3":"NA","4":"NA","5":"NA"},{"1":"factor(StateCode)59","2":"-0.062378540","3":"0.01954266","4":"-3.1919172","5":"1.423556e-03"},{"1":"factor(StateCode)62","2":"-0.132650271","3":"0.02806143","4":"-4.7271383","5":"2.350298e-06"},{"1":"factor(StateCode)63","2":"-0.005103868","3":"0.02627780","4":"-0.1942274","5":"8.460071e-01"},{"1":"factor(Year)90","2":"0.046608845","3":"0.02833625","4":"1.6448486","5":"1.000745e-01"},{"1":"factor(Year)91","2":"0.032275789","3":"0.02856877","4":"1.1297577","5":"2.586417e-01"},{"1":"factor(Year)92","2":"0.023535865","3":"0.02984597","4":"0.7885776","5":"4.304026e-01"},{"1":"factor(Year)93","2":"-0.045179582","3":"0.03298962","4":"-1.3695089","5":"1.709122e-01"},{"1":"factor(Year)94","2":"-0.060835294","3":"0.03331765","4":"-1.8259178","5":"6.793234e-02"},{"1":"factor(Year)95","2":"-0.078603997","3":"0.03437010","4":"-2.2869877","5":"2.224518e-02"},{"1":"factor(Year)96","2":"-0.096654289","3":"0.03479916","4":"-2.7774893","5":"5.501944e-03"},{"1":"factor(Year)97","2":"NA","3":"NA","4":"NA","5":"NA"},{"1":"Georgia:After","2":"0.091420197","3":"0.04876092","4":"1.8748663","5":"6.087923e-02"}],"options":{"columns":{"min":{},"max":[10]},"rows":{"min":[10],"max":[10]},"pages":{}}}
  </script>
</div>
]
]
]

```r
library(fixest)
DND_fe_2 <- feols(InCollege ~ Georgia*After | factor(StateCode) + factor(Year),
           data = hope)
DND_fe_2 %>% tidy()
```

.smallest[
`$$\widehat{\text{InCollege}_{it}}=0.091 \, (\text{Georgia}_i \times \text{After}_{it})+\alpha_i+\theta_t$$`

]

---

# Our Example, Generalized, with Controls II

```r
DND_fe_controls <- lm(InCollege ~ Georgia*After + factor(StateCode) + factor(Year) + Black + LowIncome,
           data = hope)
DND_fe_controls %>% tidy()
```

<div data-pagedtable="false">
  <script data-pagedtable-source type="application/json">
{"columns":[{"label":["term"],"name":[1],"type":["chr"],"align":["left"]},{"label":["estimate"],"name":[2],"type":["dbl"],"align":["right"]},{"label":["std.error"],"name":[3],"type":["dbl"],"align":["right"]},{"label":["statistic"],"name":[4],"type":["dbl"],"align":["right"]},{"label":["p.value"],"name":[5],"type":["dbl"],"align":["right"]}],"data":[{"1":"(Intercept)","2":"0.735574222","3":"0.02990710","4":"24.5953037","5":"1.155308e-121"},{"1":"Georgia","2":"-0.108940276","3":"0.04765262","4":"-2.2861342","5":"2.231699e-02"},{"1":"After","2":"-0.005753553","3":"0.03737027","4":"-0.1539607","5":"8.776512e-01"},{"1":"factor(StateCode)57","2":"-0.043406073","3":"0.03047696","4":"-1.4242257","5":"1.544869e-01"},{"1":"factor(StateCode)58","2":"NA","3":"NA","4":"NA","5":"NA"},{"1":"factor(StateCode)59","2":"-0.053175645","3":"0.02306160","4":"-2.3058092","5":"2.119033e-02"},{"1":"factor(StateCode)62","2":"-0.116104615","3":"0.03283310","4":"-3.5362060","5":"4.121675e-04"},{"1":"factor(StateCode)63","2":"0.007389866","3":"0.03056444","4":"0.2417799","5":"8.089675e-01"},{"1":"factor(Year)90","2":"0.039364315","3":"0.03326291","4":"1.1834297","5":"2.367342e-01"},{"1":"factor(Year)91","2":"0.029227969","3":"0.03347850","4":"0.8730370","5":"3.827140e-01"},{"1":"factor(Year)92","2":"0.051192688","3":"0.03475325","4":"1.4730333","5":"1.408487e-01"},{"1":"factor(Year)93","2":"0.032367485","3":"0.03878507","4":"0.8345346","5":"4.040474e-01"},{"1":"factor(Year)94","2":"-0.019263063","3":"0.03960036","4":"-0.4864366","5":"6.266938e-01"},{"1":"factor(Year)95","2":"-0.049200523","3":"0.04076784","4":"-1.2068465","5":"2.275880e-01"},{"1":"factor(Year)96","2":"-0.071348283","3":"0.04100497","4":"-1.7399911","5":"8.196486e-02"},{"1":"factor(Year)97","2":"NA","3":"NA","4":"NA","5":"NA"},{"1":"Black","2":"-0.093987152","3":"0.02056272","4":"-4.5707541","5":"5.059482e-06"},{"1":"LowIncome","2":"-0.301724263","3":"0.02010515","4":"-15.0073141","5":"4.081902e-49"},{"1":"Georgia:After","2":"0.023436792","3":"0.05841043","4":"0.4012433","5":"6.882701e-01"}],"options":{"columns":{"min":{},"max":[10]},"rows":{"min":[10],"max":[10]},"pages":{}}}
  </script>
</div>
]
]
]

```r
library(fixest)
DND_fe_controls_2 <- feols(InCollege ~ Georgia*After + Black + LowIncome | factor(StateCode) + factor(Year),
           data = hope)
DND_fe_controls_2 %>% tidy()
```

]
]
]

--
.smallest[
`$$\widehat{\text{InCollege}_{it}}=0.023 \, (\text{Georgia}_i \times \text{After}_{it})-0.094 \text{Black}_{it}-0.302 \text{LowIncome}_{it}$$`

]

---

# Our Example, Generalized, with Controls II

.font40[
.regtable[
<table class="huxtable" style="border-collapse: collapse; border: 0px; margin-bottom: 2em; margin-top: 2em; ; margin-left: auto; margin-right: auto;  " id="tab:unnamed-chunk-33">
<col><col><col><col><tr>
<th style="vertical-align: top; text-align: center; white-space: normal; border-style: solid solid solid solid; border-width: 0.8pt 0pt 0pt 0pt;    padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;"></th><th style="vertical-align: top; text-align: center; white-space: normal; border-style: solid solid solid solid; border-width: 0.8pt 0pt 0.4pt 0pt;    padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">(1)</th><th style="vertical-align: top; text-align: center; white-space: normal; border-style: solid solid solid solid; border-width: 0.8pt 0pt 0.4pt 0pt;    padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">(2)</th><th style="vertical-align: top; text-align: center; white-space: normal; border-style: solid solid solid solid; border-width: 0.8pt 0pt 0.4pt 0pt;    padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">(3)</th></tr>
<tr>
<th style="vertical-align: top; text-align: left; white-space: normal; padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">Intercept</th><td style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; border-style: solid solid solid solid; border-width: 0.4pt 0pt 0pt 0pt;    padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">0.4058 ***</td><td style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; border-style: solid solid solid solid; border-width: 0.4pt 0pt 0pt 0pt;    padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">         </td><td style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; border-style: solid solid solid solid; border-width: 0.4pt 0pt 0pt 0pt;    padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">         </td></tr>
<tr>
<th style="vertical-align: top; text-align: left; white-space: normal; padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;"></th><td style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">(0.0109)   </td><td style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">         </td><td style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">         </td></tr>
<tr>
<th style="vertical-align: top; text-align: left; white-space: normal; padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">Georgia</th><td style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">-0.1052 ** </td><td style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">         </td><td style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">         </td></tr>
<tr>
<th style="vertical-align: top; text-align: left; white-space: normal; padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;"></th><td style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">(0.0378)   </td><td style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">         </td><td style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">         </td></tr>
<tr>
<th style="vertical-align: top; text-align: left; white-space: normal; padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">After</th><td style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">-0.0045    </td><td style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">         </td><td style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">         </td></tr>
<tr>
<th style="vertical-align: top; text-align: left; white-space: normal; padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;"></th><td style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">(0.0159)   </td><td style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">         </td><td style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">         </td></tr>
<tr>
<th style="vertical-align: top; text-align: left; white-space: normal; padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">Georgia x After</th><td style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">0.0893    </td><td style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">0.0914 ***</td><td style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">0.0234    </td></tr>
<tr>
<th style="vertical-align: top; text-align: left; white-space: normal; padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;"></th><td style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">(0.0489)   </td><td style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">(0.0056)   </td><td style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">(0.0128)   </td></tr>
<tr>
<th style="vertical-align: top; text-align: left; white-space: normal; padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">Low Income</th><td style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">         </td><td style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">         </td><td style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">-0.3017 ***</td></tr>
<tr>
<th style="vertical-align: top; text-align: left; white-space: normal; padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;"></th><td style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">         </td><td style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">         </td><td style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">(0.0307)   </td></tr>
<tr>
<th style="vertical-align: top; text-align: left; white-space: normal; padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">Black</th><td style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">         </td><td style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">         </td><td style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">-0.0940 ***</td></tr>
<tr>
<th style="vertical-align: top; text-align: left; white-space: normal; padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;"></th><td style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; border-style: solid solid solid solid; border-width: 0pt 0pt 0.4pt 0pt;    padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">         </td><td style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; border-style: solid solid solid solid; border-width: 0pt 0pt 0.4pt 0pt;    padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">         </td><td style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; border-style: solid solid solid solid; border-width: 0pt 0pt 0.4pt 0pt;    padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">(0.0127)   </td></tr>
<tr>
<th style="vertical-align: top; text-align: left; white-space: normal; padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">Fixed Effects</th><td style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; border-style: solid solid solid solid; border-width: 0.4pt 0pt 0.4pt 0pt;    padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">None         </td><td style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; border-style: solid solid solid solid; border-width: 0.4pt 0pt 0.4pt 0pt;    padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">State & Year         </td><td style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; border-style: solid solid solid solid; border-width: 0.4pt 0pt 0.4pt 0pt;    padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">State & Year         </td></tr>
<tr>
<th style="vertical-align: top; text-align: left; white-space: normal; padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">N</th><td style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; border-style: solid solid solid solid; border-width: 0.4pt 0pt 0pt 0pt;    padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">4291         </td><td style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; border-style: solid solid solid solid; border-width: 0.4pt 0pt 0pt 0pt;    padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">4291         </td><td style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; border-style: solid solid solid solid; border-width: 0.4pt 0pt 0pt 0pt;    padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">2967         </td></tr>
<tr>
<th style="vertical-align: top; text-align: left; white-space: normal; padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">R-Squared</th><td style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">0.0019    </td><td style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">0.0115    </td><td style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">0.1036    </td></tr>
<tr>
<th style="vertical-align: top; text-align: left; white-space: normal; border-style: solid solid solid solid; border-width: 0pt 0pt 0.8pt 0pt;    padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">SER</th><td style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; border-style: solid solid solid solid; border-width: 0pt 0pt 0.8pt 0pt;    padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">0.4893    </td><td style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; border-style: solid solid solid solid; border-width: 0pt 0pt 0.8pt 0pt;    padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">0.4875    </td><td style="vertical-align: top; text-align: right; white-space: normal; border-style: solid solid solid solid; border-width: 0pt 0pt 0.8pt 0pt;    padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;">0.4731    </td></tr>
<tr>
<th colspan="4" style="vertical-align: top; text-align: left; white-space: normal; border-style: solid solid solid solid; border-width: 0.8pt 0pt 0pt 0pt;    padding: 6pt 6pt 6pt 6pt; font-weight: normal;"> *** p < 0.001;  ** p < 0.01;  * p < 0.05.</th></tr>
</table>

]
]

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# Our Example, Generalized, with Controls II

.source[Dynarski, Susan, 1999, “Hope for Whom? Financial Aid for the Middle Class and its Impact on College Attendance,” *National Tax Journal* 53(3): 629-661]
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# Intuition behind DND

- Diff-in-diff models are the quintessential example of exploiting .hi[natural experiments]

- A major change at a point in time (change in law, a natural disaster, political crisis) separates groups where one is affected and another is not---identifies the effect of the change (treatment)

- One of the cleanest and clearest causal **identification strategies**

]

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# Example II: “The” Card-Kreuger Minimum Wage Study

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# Example: ”The” Card-Kreuger Minimum Wage Study I

.content-box-green[
.green[**Example**]: *The* controversial minimum wage study, Card & Kreuger (1994) is a quintessential (and clever) diff-in-diff.
]

.source[Card, David, Krueger, Alan B, (1994), "Minimum Wages and Employment: A Case Study of the Fast-Food Industry in New Jersey and Pennsylvania," *American Economic Review* 84 (4): 772–793	]

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# Card & Kreuger (1994): Background I

.pull-left[
- Card & Kreuger (1994)	compare employment in fast food restaurants on New Jersey and Pennsylvania sides of border between February and November 1992.

- Pennsylvania & New Jersey both had a minimum wage of $4.25 before February 1992

- In February 1992, New Jersey raised minimum wage from $4.25 to $5.05
]

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# Card & Kreuger (1994): Background II

.pull-left[
- If we look only at New Jersey before & after change: 
  - **Omitted variable bias**: macroeconomic variables (there's a recession!), weather, etc.
	- Including PA as a control will control for these time-varying effects if they are national trends

- Surveyed 400 fast food restaurants on each side of the border, before & after min wage increase
  - .hi-purple[Key assumption]: Pennsylvania and New Jersey follow parallel trends, 
	- **Counterfactual**: if not for the minimum wage increase, NJ employment would have changed similar to PA employment
]

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# Card & Kreuger (1994): Comparisons

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# Card & Kreuger (1994): Summary I

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# Card & Kreuger (1994): Summary II

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# Card & Kreuger (1994): Model

.smallest[
`$$\widehat{\text{Employment}_{i t}}=\beta_0+\beta_1 \, \text{NJ}_{i}+\beta_2 \, \text{After}_{t}+\beta_3 \, (\text{NJ}_i \times After_t)$$`

- PA Before: `$\beta_0$`

- PA After: `$\beta_0+\beta_2$`

- NJ Before: `$\beta_0+\beta_1$`

- NJ After: `$\beta_0+\beta_1+\beta_2+\beta_3$`

- **Diff-in-diff**: `$(\text{NJ}_{after}-\text{NJ}_{before})-(\text{PA}_{after}-\text{PA}_{before})$`
]

.smallest[
|    | PA | NJ | **Group Diff** `$(\Delta Y_i)$` |
|----|---------|-----------|---------------------------|
| Before | `$\beta_0$` | `$\beta_0+\beta_1$` | `$\beta_1$` |
| After | `$\beta_0+\beta_2$` | `$\beta_0+\beta_1+\beta_2+\beta_3$` | `$\beta_1+\beta_3$` |
| **Time Diff** `$(\Delta Y_t)$` | `$\beta_2$` | `$\beta_2+\beta_3$` | **Diff-in-diff** `$\Delta_i \Delta_t: \beta_3$` |
]

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# Card & Kreuger (1994): Results